正弦定理。三角形を解く

三角形の研究は、不注意に質問を提起するそれらの辺と角度との間の関係の計算に関する。ジオメトリでは、余弦と正弦の定理がこの問題を解決するための最も完全な答えを与えます。豊富な数学的表現や数式、法律、定理、規則では、それらが含む特別な調和、簡潔さ、簡潔さが異なります。正弦定理は、そのような数学的定式化の鮮明な例である。言葉の解釈では、この数学的なルールを理解することにもある障害がある場合、数式を見ると、すぐにすべてのものが適所に落ちます。

この定理に関する最初の情報は、13世紀のNasir ad-Din Al-Tusiの数学的研究の枠組みにおけるその証明の形で見つかった。

関係に近い方に近づく任意の三角形の中の辺や角度、それは正弦定理は、私たちは多くの数学の問題を解決することを可能にする、と法律の形状は実用的な人間の活動の様々な用途を見出すことは注目に値します。

正弦定理自体は、三角形は、正反対の角度の正弦に対する辺の比例によって特徴付けられる。この定理の第2の部分もあり、これによれば、三角形の任意の辺と正反対の角度との比は、検討中の三角形の近くに記載された円の直径と等しい。

式の形では、この式は次のようになります

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

様々なバージョンの教科書に豊富な種類のバージョンが用意されている正弦証明の定理を持っています。

たとえば、定理の最初の部分を説明する証明の1つを考えてみましょう。そのためには、表現の妥当性を証明するという目標を設定しましょう a sinC = c sinA。

任意の三角形ABCでは、BH。構造の変形の1つでは、HはセグメントAC上にあり、他の外側では、三角形の頂点での角度に依存します。第1の場合、高さは、三角形の角度および辺に関して、BH = a sinCおよびBH = c sinAとして表現することができ、これは必要な証明である。

点Hが線分ACの限界を超えている場合、以下の解を得ることができる。

BH = a sinCであり、BH = csin（180-A）= csinAである。

またはBH = a sin（180-C）= a sinCおよびBH = c sinAである。

我々が見てきたように、建設オプションにかかわらず、我々は望ましい結果に来る。

定理の2番目の部分の証明は、三角形の周りに円を描いています。三角形の高さの1つ、例えばBを使用して、円の直径を構成します。三角形の高さの1つで円D上の点を求め、それを三角形の点Aとする。

結果として得られる三角形ABDとABCの場合、角度CとDの等価性を見ることができます（これらは1つの円弧に基づいています）。そして、角度Aが90度であることを考慮すると、sin D = c / 2Rまたはsin C = c / 2Rと証明された。

正弦定理は、異なるタスクの広い範囲。特定のアトラクションは、定理の帰結として、我々は、三角形に外接する円の三角形の辺の値、対向角度及び半径（直径）を関連付けることが可能であり、その実用的なアプリケーションです。シンプルさと可用性この数式を記述式の、広く可算様々な機械装置を用いて問題を解決するために、この定理を使用することを許可（など計算尺、テーブル、および。）、しかし、サービスマンの強力なコンピューティングデバイスであっても到着は、この定理の妥当性を低下させません。

この定理は、中等学校のジオメトリーの強制的なコースに含まれるだけでなく、実践的な活動の特定の枝にさらに適用されます。